03 minimum fuel optimal control

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.12.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Minimal%20fuel%20optimal%20control%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20notebook%20includes%20an%20application%20of%20linear%20programming%20to%20controlling%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20physical%20system%2C%20adapted%20from%20%5BConvex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Optimization%5D(https%3A%2F%2Fweb.stanford.edu%2F~boyd%2Fcvxbook%2F)%20by%20Boyd%20and%20Vandenberghe.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20consider%20a%20linear%20dynamical%20system%20with%20state%20%24x(t)%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5En%24%2C%20for%20%24t%20%3D%200%2C%20%5Cldots%2C%20T%24.%20At%20each%20time%20step%20%24t%20%3D%200%2C%20%5Cldots%2C%20T%20-%201%24%2C%20an%20actuator%20or%20input%20signal%20%24u(t)%24%20is%20applied%2C%20affecting%20the%20state.%20The%20dynamics%0A%20%20%20%20%20%20%20%20of%20the%20system%20is%20given%20by%20the%20linear%20recurrence%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x(t%20%2B%201)%20%3D%20Ax(t)%20%2B%20bu(t)%2C%20%5Cquad%20t%20%3D%200%2C%20%5Cldots%2C%20T%20-%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%20%24A%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5E%7Bn%20%5Ctimes%20n%7D%24%20and%20%24b%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5En%24%20are%20given%20and%20encode%20how%20the%20system%20evolves.%20The%20initial%20state%20%24x(0)%24%20is%20also%20given.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20_minimum%20fuel%20optimal%20control%20problem_%20is%20to%20choose%20the%20inputs%20%24u(0)%2C%20%5Cldots%2C%20u(T%20-%201)%24%20so%20as%20to%20achieve%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20given%20desired%20state%20%24x_%5Ctext%7Bdes%7D%20%3D%20x(T)%24%20while%20minimizing%20the%20total%20fuel%20consumed%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20F%20%3D%20%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7BT%20-%201%7D%20f(u(t)).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20function%20%24f%20%3A%20%5Cmathbf%7BR%7D%20%5Cto%20%5Cmathbf%7BR%7D%24%20tells%20us%20how%20much%20fuel%20is%20consumed%20as%20a%20function%20of%20the%20input%2C%20and%20is%20given%20by%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f(a)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7Ca%7C%20%26%20%7Ca%7C%20%5Cleq%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202%7Ca%7C%20-%201%20%26%20%7Ca%7C%20%3E%201.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bcases%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20means%20the%20fuel%20use%20is%20proportional%20to%20the%20magnitude%20of%20the%20signal%20between%20%24-1%24%20and%20%241%24%2C%20but%20for%20larger%20signals%20the%20marginal%20fuel%20efficiency%20is%20half.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**This%20notebook.**%20In%20this%20notebook%20we%20use%20CVXPY%20to%20formulate%20the%20minimum%20fuel%20optimal%20control%20problem%20as%20a%20linear%20program.%20The%20notebook%20lets%20you%20play%20with%20the%20initial%20and%20target%20states%2C%20letting%20you%20see%20how%20they%20affect%20the%20planned%20trajectory%20of%20inputs%20%24u%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20First%2C%20we%20create%20the%20**problem%20data**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20return%20(np%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20n%2C%20T%20%3D%203%2C%2030%0A%20%20%20%20return%20T%2C%20n%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20A%20%3D%20np.array(%5B%5B-1%2C%200.4%2C%200.8%5D%2C%20%5B1%2C%200%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%201%2C%200%5D%5D)%0A%20%20%20%20b%20%3D%20np.array(%5B%5B1%2C%200%2C%200.3%5D%5D).T%0A%20%20%20%20return%20A%2C%20b%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20n%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20import%20wigglystuff%0A%0A%20%20%20%20x0_widget%20%3D%20mo.ui.anywidget(wigglystuff.Matrix(np.zeros((1%2C%20n))))%0A%20%20%20%20xdes_widget%20%3D%20mo.ui.anywidget(wigglystuff.Matrix(np.array(%5B%5B7%2C%202%2C%20-6%5D%5D)))%0A%0A%20%20%20%20_a%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Choose%20a%20value%20for%20%24x_0%24%20...%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bx0_widget%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_b%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20...%20and%20for%20%24x_%5Ctext%7B%7Bdes%7D%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bxdes_widget%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B_a%2C%20_b%5D%2C%20justify%3D%22space-around%22)%0A%20%20%20%20return%20wigglystuff%2C%20x0_widget%2C%20xdes_widget%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(x0_widget%2C%20xdes_widget)%3A%0A%20%20%20%20x0%20%3D%20x0_widget.matrix%0A%20%20%20%20xdes%20%3D%20xdes_widget.matrix%0A%20%20%20%20return%20x0%2C%20xdes%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Next%2C%20we%20specify%20the%20problem%20as%20a%20linear%20program%20using%20CVXPY.**%20This%20problem%20is%20linear%20because%20the%20objective%20and%20constraints%20are%20affine.%20(In%20fact%2C%20the%20objective%20is%20piecewise%20affine%2C%20but%20CVXPY%20rewrites%20it%20to%20be%20affine%20for%20you.)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20cvxpy%20as%20cp%0A%20%20%20%20return%20(cp%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20T%2C%20b%2C%20cp%2C%20mo%2C%20n%2C%20x0%2C%20xdes)%3A%0A%20%20%20%20X%2C%20u%20%3D%20cp.Variable(shape%3D(n%2C%20T%20%2B%201))%2C%20cp.Variable(shape%3D(1%2C%20T))%0A%0A%20%20%20%20objective%20%3D%20cp.sum(cp.maximum(cp.abs(u)%2C%202%20*%20cp.abs(u)%20-%201))%0A%20%20%20%20constraints%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%5B%3A%2C%201%3A%5D%20%3D%3D%20A%20%40%20X%5B%3A%2C%20%3A-1%5D%20%2B%20b%20%40%20u%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%5B%3A%2C%200%5D%20%3D%3D%20x0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%5B%3A%2C%20-1%5D%20%3D%3D%20xdes%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20fuel_used%20%3D%20cp.Problem(cp.Minimize(objective)%2C%20constraints).solve()%0A%20%20%20%20mo.md(f%22Achieved%20a%20fuel%20usage%20of%20%7Bfuel_used%3A.02f%7D.%20%F0%9F%9A%80%22)%0A%20%20%20%20return%20X%2C%20constraints%2C%20fuel_used%2C%20objective%2C%20u%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Finally%2C%20we%20plot%20the%20chosen%20inputs%20over%20time.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%F0%9F%8C%8A%20Try%20it!**%20Change%20the%20initial%20and%20desired%20states%3B%20how%20do%20fuel%20usage%20and%20controls%20change%3F%20Can%20you%20explain%20what%20you%20see%3F%20You%20can%20also%20try%20experimenting%20with%20the%20value%20of%20%24T%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(plot_solution%2C%20u)%3A%0A%20%20%20%20plot_solution(u)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(T%2C%20cp%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_solution(u%3A%20cp.Variable)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.step(np.arange(T)%2C%20u.T.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.axis(%22tight%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.xlabel(%22%24t%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.ylabel(%22%24u%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20plt.gca()%0A%20%20%20%20return%20(plot_solution%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A