05 portfolio optimization

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.12.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%20Portfolio%20optimization%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20this%20example%20we%20show%20how%20to%20use%20CVXPY%20to%20design%20a%20financial%20portfolio%3B%20this%20is%20called%20_portfolio%20optimization_.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20portfolio%20optimization%20we%20have%20some%20amount%20of%20money%20to%20invest%20in%20any%20of%20%24n%24%20different%20assets.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20choose%20what%20fraction%20%24w_i%24%20of%20our%20money%20to%20invest%20in%20each%20asset%20%24i%24%2C%20%24i%3D1%2C%20%5Cldots%2C%20n%24.%20The%20goal%20is%20to%20maximize%20return%20of%20the%20portfolio%20while%20minimizing%20risk.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Asset%20returns%20and%20risk%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20will%20only%20model%20investments%20held%20for%20one%20period.%20The%20initial%20prices%20are%20%24p_i%20%3E%200%24.%20The%20end%20of%20period%20prices%20are%20%24p_i%5E%2B%20%3E0%24.%20The%20asset%20(fractional)%20returns%20are%20%24r_i%20%3D%20(p_i%5E%2B-p_i)%2Fp_i%24.%20The%20portfolio%20(fractional)%20return%20is%20%24R%20%3D%20r%5ETw%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20common%20model%20is%20that%20%24r%24%20is%20a%20random%20variable%20with%20mean%20%24%7B%5Cbf%20E%7Dr%20%3D%20%5Cmu%24%20and%20covariance%20%24%7B%5Cbf%20E%7B(r-%5Cmu)(r-%5Cmu)%5ET%7D%7D%20%3D%20%5CSigma%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20It%20follows%20that%20%24R%24%20is%20a%20random%20variable%20with%20%24%7B%5Cbf%20E%7DR%20%3D%20%5Cmu%5ET%20w%24%20and%20%24%7B%5Cbf%20var%7D(R)%20%3D%20w%5ET%5CSigma%20w%24.%20In%20real-world%20applications%2C%20%24%5Cmu%24%20and%20%24%5CSigma%24%20are%20estimated%20from%20data%20and%20models%2C%20and%20%24w%24%20is%20chosen%20using%20a%20library%20like%20CVXPY.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%7B%5Cbf%20E%7DR%24%20is%20the%20(mean)%20*return*%20of%20the%20portfolio.%20%24%7B%5Cbf%20var%7D(R)%24%20is%20the%20*risk*%20of%20the%20portfolio.%20Portfolio%20optimization%20has%20two%20competing%20objectives%3A%20high%20return%20and%20low%20risk.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Classical%20(Markowitz)%20portfolio%20optimization%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Classical%20(Markowitz)%20portfolio%20optimization%20solves%20the%20optimization%20problem%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%20%5Ctext%7Bmaximize%7D%20%26%20%5Cmu%5ET%20w%20-%20%5Cgamma%20w%5ET%5CSigma%20w%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctext%7Bsubject%20to%7D%20%26%20%7B%5Cbf%201%7D%5ET%20w%20%3D%201%2C%20w%20%5Cgeq%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%20%24w%20%5Cin%20%7B%5Cbf%20R%7D%5En%24%20is%20the%20optimization%20variable%20and%20%24%5Cgamma%20%3E0%24%20is%20a%20constant%20called%20the%20*risk%20aversion%20parameter*.%20The%20constraint%20%24%5Cmathbf%7B1%7D%5ETw%20%3D%201%24%20says%20the%20portfolio%20weight%20vector%20must%20sum%20to%201%2C%20and%20%24w%20%5Cgeq%200%24%20says%20that%20we%20can't%20invest%20a%20negative%20amount%20into%20any%20asset.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20objective%20%24%5Cmu%5ETw%20-%20%5Cgamma%20w%5ET%5CSigma%20w%24%20is%20the%20*risk-adjusted%20return*.%20Varying%20%24%5Cgamma%24%20gives%20the%20optimal%20*risk-return%20trade-off*.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20can%20get%20the%20same%20risk-return%20trade-off%20by%20fixing%20return%20and%20minimizing%20risk.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Example%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20following%20code%20we%20compute%20and%20plot%20the%20optimal%20risk-return%20trade-off%20for%20%2410%24%20assets.%20First%20we%20generate%20random%20problem%20data%20%24%5Cmu%24%20and%20%24%5CSigma%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20return%20(np%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20import%20wigglystuff%0A%0A%20%20%20%20mu_widget%20%3D%20mo.ui.anywidget(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wigglystuff.Matrix(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array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mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20value%20of%20%24%5Cmu%24%20is%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bmu_widget.center()%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Try%20changing%20the%20entries%20of%20%24%5Cmu%24%20and%20see%20how%20the%20plots%20below%20change._%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20mu_widget%2C%20wigglystuff%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mu_widget%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20np.random.seed(1)%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20mu%20%3D%20np.array(mu_widget.matrix)%0A%20%20%20%20Sigma%20%3D%20np.random.randn(n%2C%20n)%0A%20%20%20%20Sigma%20%3D%20Sigma.T.dot(Sigma)%0A%20%20%20%20return%20Sigma%2C%20mu%2C%20n%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22Next%2C%20we%20solve%20the%20problem%20for%20100%20different%20values%20of%20%24%5Cgamma%24%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Sigma%2C%20mu%2C%20n)%3A%0A%20%20%20%20import%20cvxpy%20as%20cp%0A%0A%20%20%20%20w%20%3D%20cp.Variable(n)%0A%20%20%20%20gamma%20%3D%20cp.Parameter(nonneg%3DTrue)%0A%20%20%20%20ret%20%3D%20mu.T%20%40%20w%0A%20%20%20%20risk%20%3D%20cp.quad_form(w%2C%20Sigma)%0A%20%20%20%20prob%20%3D%20cp.Problem(cp.Maximize(ret%20-%20gamma%20*%20risk)%2C%20%5Bcp.sum(w)%20%3D%3D%201%2C%20w%20%3E%3D%200%5D)%0A%20%20%20%20return%20cp%2C%20gamma%2C%20prob%2C%20ret%2C%20risk%2C%20w%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(cp%2C%20gamma%2C%20np%2C%20prob%2C%20ret%2C%20risk)%3A%0A%20%20%20%20_SAMPLES%20%3D%20100%0A%20%20%20%20risk_data%20%3D%20np.zeros(_SAMPLES)%0A%20%20%20%20ret_data%20%3D%20np.zeros(_SAMPLES)%0A%20%20%20%20gamma_vals%20%3D%20np.logspace(-2%2C%203%2C%20num%3D_SAMPLES)%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_SAMPLES)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gamma.value%20%3D%20gamma_vals%5B_i%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20prob.solve()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20risk_data%5B_i%5D%20%3D%20cp.sqrt(risk).value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ret_data%5B_i%5D%20%3D%20ret.value%0A%20%20%20%20return%20gamma_vals%2C%20ret_data%2C%20risk_data%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22Plotted%20below%20are%20the%20risk%20return%20tradeoffs%20for%20two%20values%20of%20%24%5Cgamma%24%20(blue%20squares)%2C%20and%20the%20risk%20return%20tradeoffs%20for%20investing%20fully%20in%20each%20asset%20(red%20circles)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Sigma%2C%20cp%2C%20gamma_vals%2C%20mu%2C%20n%2C%20ret_data%2C%20risk_data)%3A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20markers_on%20%3D%20%5B29%2C%2040%5D%0A%20%20%20%20fig%20%3D%20plt.figure()%0A%20%20%20%20ax%20%3D%20fig.add_subplot(111)%0A%20%20%20%20plt.plot(risk_data%2C%20ret_data%2C%20%22g-%22)%0A%20%20%20%20for%20marker%20in%20markers_on%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(risk_data%5Bmarker%5D%2C%20ret_data%5Bmarker%5D%2C%20%22bs%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%24%5C%5Cgamma%20%3D%20%25.2f%24%22%20%25%20gamma_vals%5Bmarker%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(risk_data%5Bmarker%5D%20%2B%200.08%2C%20ret_data%5Bmarker%5D%20-%200.03)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(cp.sqrt(Sigma%5B_i%2C%20_i%5D).value%2C%20mu%5B_i%5D%2C%20%22ro%22)%0A%20%20%20%20plt.xlabel(%22Standard%20deviation%22)%0A%20%20%20%20plt.ylabel(%22Return%22)%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%20ax%2C%20fig%2C%20marker%2C%20markers_on%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20plot%20below%20the%20return%20distributions%20for%20the%20two%20risk%20aversion%20values%20marked%20on%20the%20trade-off%20curve.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Notice%20that%20the%20probability%20of%20a%20loss%20is%20near%200%20for%20the%20low%20risk%20value%20and%20far%20above%200%20for%20the%20high%20risk%20value.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(gamma%2C%20gamma_vals%2C%20markers_on%2C%20np%2C%20plt%2C%20prob%2C%20ret%2C%20risk)%3A%0A%20%20%20%20import%20scipy.stats%20as%20spstats%0A%0A%20%20%20%20plt.figure()%0A%20%20%20%20for%20midx%2C%20_idx%20in%20enumerate(markers_on)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gamma.value%20%3D%20gamma_vals%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20prob.solve()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-2%2C%205%2C%201000)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20spstats.norm.pdf(x%2C%20ret.value%2C%20risk.value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Cgamma%20%3D%20%25.2f%24%22%20%25%20gamma.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plt.xlabel(%22Return%22)%0A%20%20%20%20plt.ylabel(%22Density%22)%0A%20%20%20%20plt.legend(loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%20midx%2C%20spstats%2C%20x%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A