16 continuous distribution

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.12.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Continuous%20Distributions%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_This%20notebook%20is%20a%20computational%20companion%20to%20%5B%22Probability%20for%20Computer%20Scientists%22%5D(https%3A%2F%2Fchrispiech.github.io%2FprobabilityForComputerScientists%2Fen%2Fpart2%2Fcontinuous%2F)%2C%20by%20Stanford%20professor%20Chris%20Piech._%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20So%20far%2C%20all%20the%20random%20variables%20we've%20explored%20have%20been%20discrete%2C%20taking%20on%20only%20specific%20values%20(usually%20integers).%20Now%20we'll%20move%20into%20the%20world%20of%20**continuous%20random%20variables**%2C%20which%20can%20take%20on%20any%20real%20number%20value.%20Continuous%20random%20variables%20are%20used%20to%20model%20measurements%20with%20arbitrary%20precision%20like%20height%2C%20weight%2C%20time%2C%20and%20many%20natural%20phenomena.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20From%20Discrete%20to%20Continuous%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20To%20make%20the%20transition%20from%20discrete%20to%20continuous%20random%20variables%2C%20let's%20start%20with%20a%20thought%20experiment%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3E%20Imagine%20you're%20running%20to%20catch%20a%20bus.%20You%20know%20you'll%20arrive%20at%202%3A15pm%2C%20but%20you%20don't%20know%20exactly%20when%20the%20bus%20will%20arrive.%20You%20want%20to%20model%20the%20bus%20arrival%20time%20(in%20minutes%20past%202pm)%20as%20a%20random%20variable%20%24T%24%20so%20you%20can%20calculate%20the%20probability%20that%20you'll%20wait%20more%20than%20five%20minutes%3A%20%24P(15%20%3C%20T%20%3C%2020)%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20immediately%20highlights%20a%20key%20difference%20from%20discrete%20distributions.%20For%20discrete%20distributions%2C%20we%20described%20the%20probability%20that%20a%20random%20variable%20takes%20on%20exact%20values.%20But%20this%20doesn't%20make%20sense%20for%20continuous%20values%20like%20time.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20example%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20What's%20the%20probability%20the%20bus%20arrives%20at%20exactly%202%3A17pm%20and%2012.12333911102389234%20seconds%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20What's%20the%20probability%20of%20a%20child%20being%20born%20weighing%20exactly%203.523112342234%20kilograms%3F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20These%20questions%20don't%20have%20meaningful%20answers%20because%20real-world%20measurements%20can%20have%20infinite%20precision.%20The%20probability%20of%20a%20continuous%20random%20variable%20taking%20on%20any%20specific%20exact%20value%20is%20actually%20zero!%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Visualizing%20the%20Transition%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Let's%20visualize%20this%20transition%20from%20discrete%20to%20continuous%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(fig_to_image%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20create_discretization_plot()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20axs%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(15%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20values%20from%200%20to%2030%20minutes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(0%2C%2030%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Triangular%20distribution%20peaked%20at%2015%20minutes)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.where(x%20%3C%3D%2015%2C%20x%2F15%2C%20(30-x)%2F15)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20y%20%2F%20np.trapezoid(y%2C%20x)%20%20%23%20Normalize%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%205-minute%20chunks%20(first%20plot)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bins%20%3D%20np.arange(0%2C%2031%2C%205)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hist%2C%20_%20%3D%20np.histogram(x%2C%20bins%3Dbins%2C%20weights%3Dy)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%20%3D%20bins%5B1%5D%20-%20bins%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%5D.bar(bins%5B%3A-1%5D%2C%20hist%20*%20width%2C%20width%3Dwidth%2C%20alpha%3D0.7%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'royalblue'%2C%20edgecolor%3D'black')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%5D.set_xlim(0%2C%2030)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%5D.set_title('5-Minute%20Intervals')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%5D.set_xlabel('Minutes%20past%202pm')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%5D.set_ylabel('Probability')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%2015-20%20minute%20range%20more%20prominent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%5D.bar(%5B15%5D%2C%20hist%5B3%5D%20*%20width%2C%20width%3Dwidth%2C%20alpha%3D0.7%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'darkorange'%2C%20edgecolor%3D'black')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%202.5-minute%20chunks%20(second%20plot)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bins%20%3D%20np.arange(0%2C%2031%2C%202.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hist%2C%20_%20%3D%20np.histogram(x%2C%20bins%3Dbins%2C%20weights%3Dy)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%20%3D%20bins%5B1%5D%20-%20bins%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%5D.bar(bins%5B%3A-1%5D%2C%20hist%20*%20width%2C%20width%3Dwidth%2C%20alpha%3D0.7%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'royalblue'%2C%20edgecolor%3D'black')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%5D.set_xlim(0%2C%2030)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%5D.set_title('2.5-Minute%20Intervals')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%5D.set_xlabel('Minutes%20past%202pm')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Make%2015-20%20minute%20range%20more%20prominent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20highlight_indices%20%3D%20%5B6%2C%207%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20idx%20in%20highlight_indices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%5D.bar(%5Bbins%5Bidx%5D%5D%2C%20hist%5Bidx%5D%20*%20width%2C%20width%3Dwidth%2C%20alpha%3D0.7%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'darkorange'%2C%20edgecolor%3D'black')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Continuous%20distribution%20(third%20plot)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%5D.plot(x%2C%20y%2C%20'royalblue'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%5D.set_xlim(0%2C%2030)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%5D.set_title('Continuous%20Distribution')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%5D.set_xlabel('Minutes%20past%202pm')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%5D.set_ylabel('Probability%20Density')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Highlight%20the%20AUC%20between%2015%20and%2020%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask%20%3D%20(x%20%3E%3D%2015)%20%26%20(x%20%3C%3D%2020)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%5D.fill_between(x%5Bmask%5D%2C%20y%5Bmask%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20alpha%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Mark%2015-20%20minute%20interval%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20ax%20in%20axs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(x%3D15%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(x%3D20%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xticks(%5B0%2C%205%2C%2010%2C%2015%2C%2020%2C%2025%2C%2030%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.gca()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20creation%20%26%20conversion%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20create_discretization_plot()%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(fig_to_image(_fig)%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%0A%20%20%20%20_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20figure%20above%20illustrates%20our%20transition%20from%20discrete%20to%20continuous%20thinking%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Left**%3A%20Time%20divided%20into%205-minute%20chunks%2C%20where%20the%20probability%20of%20the%20bus%20arriving%20between%2015-20%20minutes%20(highlighted%20in%20orange)%20is%20a%20single%20value.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Center**%3A%20Time%20divided%20into%20finer%202.5-minute%20chunks%2C%20where%20the%2015-20%20minute%20range%20consists%20of%20two%20chunks.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Right**%3A%20In%20the%20limit%2C%20we%20get%20a%20continuous%20probability%20density%20function%20where%20the%20probability%20is%20the%20area%20under%20the%20curve%20between%2015%20and%2020%20minutes.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20As%20we%20make%20our%20chunks%20smaller%20and%20smaller%2C%20we%20eventually%20arrive%20at%20a%20smooth%20function%20that%20gives%20us%20the%20probability%20density%20at%20each%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_img%2C%20_explanation%5D)%0A%20%20%20%20return%20(create_discretization_plot%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Probability%20Density%20Functions%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20world%20of%20discrete%20random%20variables%2C%20we%20used%20**Probability%20Mass%20Functions%20(PMFs)**%20to%20describe%20the%20probability%20of%20a%20random%20variable%20taking%20on%20specific%20values.%20In%20the%20continuous%20world%2C%20we%20need%20a%20different%20approach.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20continuous%20random%20variables%2C%20we%20use%20a%20**Probability%20Density%20Function%20(PDF)**%20which%20defines%20the%20relative%20likelihood%20that%20a%20random%20variable%20takes%20on%20a%20particular%20value.%20We%20traditionally%20denote%20the%20PDF%20with%20the%20symbol%20%24f%24%20and%20write%20it%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24f(X%3Dx)%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bor%20simply%7D%20%5Cquad%20f(x)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Where%20the%20lowercase%20%24x%24%20implies%20that%20we're%20talking%20about%20the%20relative%20likelihood%20of%20a%20continuous%20random%20variable%20which%20is%20the%20uppercase%20%24X%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20Properties%20of%20PDFs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20**Probability%20Density%20Function%20(PDF)**%20%24f(x)%24%20for%20a%20continuous%20random%20variable%20%24X%24%20has%20these%20key%20properties%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20The%20probability%20that%20%24X%24%20takes%20a%20value%20in%20the%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24P(a%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%20b)%20%3D%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20%5C%2C%20dx%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20The%20PDF%20must%20be%20non-negative%20everywhere%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24f(x)%20%5Cgeq%200%20%5Ctext%7B%20for%20all%20%7D%20x%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20The%20total%20probability%20must%20sum%20to%201%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20f(x)%20%5C%2C%20dx%20%3D%201%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20The%20probability%20that%20%24X%24%20takes%20any%20specific%20exact%20value%20is%200%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24P(X%20%3D%20a)%20%3D%20%5Cint_a%5Ea%20f(x)%20%5C%2C%20dx%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20last%20property%20highlights%20a%20key%20difference%20from%20discrete%20distributions%3A%20the%20probability%20of%20a%20continuous%20random%20variable%20taking%20on%20an%20exact%20value%20is%20always%200.%20Probabilities%20only%20make%20sense%20when%20talking%20about%20ranges%20of%20values.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Caution%3A%20Density%20%E2%89%A0%20Probability%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20common%20misconception%20is%20to%20think%20of%20%24f(x)%24%20as%20a%20probability.%20It%20is%20instead%20a%20**probability%20density**%2C%20representing%20probability%20per%20unit%20of%20%24x%24.%20The%20values%20of%20%24f(x)%24%20can%20actually%20exceed%201%2C%20as%20long%20as%20the%20total%20area%20under%20the%20curve%20equals%201.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20interpretation%20of%20%24f(x)%24%20is%20only%20meaningful%20when%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20We%20integrate%20over%20a%20range%20to%20get%20a%20probability%2C%20or%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20We%20compare%20densities%20at%20different%20points%20to%20determine%20relative%20likelihoods.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(TangleSlider%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20sliders%20for%20a%20and%20b%0A%20%20%20%20a_slider%20%3D%20mo.ui.anywidget(TangleSlider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20amount%3D1%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20min_value%3D0%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max_value%3D5%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20digits%3D1%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20b_slider%20%3D%20mo.ui.anywidget(TangleSlider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20amount%3D3%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20min_value%3D0%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max_value%3D5%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20digits%3D1%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Distribution%20selector%0A%20%20%20%20distribution_radio%20%3D%20mo.ui.radio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22uniform%22%2C%20%22triangular%22%2C%20%22exponential%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22uniform%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Distribution%20Type%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Controls%20layout%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Visualizing%20Probability%20as%20Area%20Under%20the%20PDF%20Curve%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Adjust%20sliders%20to%20change%20the%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%20and%20see%20how%20the%20probability%20changes%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Lower%20bound%20(a)%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Upper%20bound%20(b)%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20b_slider%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distribution_radio%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20_controls%0A%20%20%20%20return%20a_slider%2C%20b_slider%2C%20distribution_radio%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20a_slider%2C%0A%20%20%20%20b_slider%2C%0A%20%20%20%20create_pdf_visualization%2C%0A%20%20%20%20distribution_radio%2C%0A%20%20%20%20fig_to_image%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20a%20%3D%20a_slider.amount%0A%20%20%20%20b%20%3D%20b_slider.amount%0A%20%20%20%20distribution%20%3D%20distribution_radio.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Ensure%20a%20%3C%20b%0A%20%20%20%20if%20a%20%3E%20b%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20b%2C%20a%0A%0A%20%20%20%20%23%20visualization%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_probability%20%3D%20create_pdf_visualization(a%2C%20b%2C%20distribution)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Display%20visualization%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(fig_to_image(_fig)%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20appropriate%20explanation%0A%20%20%20%20if%20distribution%20%3D%3D%20%22uniform%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20**uniform%20distribution**%2C%20all%20values%20between%200%20and%205%20are%20equally%20likely.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20probability%20density%20is%20constant%20at%200.2%20(which%20is%201%2F5%2C%20ensuring%20the%20total%20area%20is%201).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20For%20a%20uniform%20distribution%2C%20the%20probability%20that%20%24X%24%20is%20in%20the%20interval%20%24%5B%7Ba%3A.1f%7D%2C%20%7Bb%3A.1f%7D%5D%24%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20simply%20proportional%20to%20the%20width%20of%20the%20interval%3A%20%24P(%7Ba%3A.1f%7D%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%20%7Bb%3A.1f%7D)%20%3D%20%7B_probability%3A.4f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Note%20that%20while%20the%20PDF%20has%20a%20constant%20value%20of%200.2%2C%20this%20is%20not%20a%20probability%20but%20a%20density!%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20distribution%20%3D%3D%20%22triangular%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20this%20**triangular%20distribution**%2C%20the%20probability%20density%20increases%20linearly%20from%200%20to%202.5%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20then%20decreases%20linearly%20from%202.5%20to%205.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20distribution's%20peak%20is%20at%20x%20%3D%202.5%2C%20where%20the%20value%20is%20highest.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20orange%20shaded%20area%20representing%20%24P(%7Ba%3A.1f%7D%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%20%7Bb%3A.1f%7D)%20%3D%20%7B_probability%3A.4f%7D%24%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20calculated%20by%20integrating%20the%20PDF%20over%20the%20interval.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**exponential%20distribution**%20(with%20%CE%BB%20%3D%200.5)%20models%20the%20time%20between%20events%20in%20a%20Poisson%20process.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Unlike%20the%20uniform%20and%20triangular%20distributions%2C%20the%20exponential%20distribution%20has%20infinite%20support%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(extends%20from%200%20to%20infinity).%20The%20probability%20density%20decreases%20exponentially%20as%20x%20increases.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20orange%20shaded%20area%20representing%20%24P(%7Ba%3A.1f%7D%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%20%7Bb%3A.1f%7D)%20%3D%20%7B_probability%3A.4f%7D%24%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20calculated%20by%20integrating%20%24f(x)%20%3D%200.5e%5E%7B%7B-0.5x%7D%7D%24%20over%20the%20interval.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_img%2C%20_explanation%5D)%0A%20%20%20%20return%20a%2C%20b%2C%20distribution%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Cumulative%20Distribution%20Function%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Since%20working%20with%20PDFs%20requires%20solving%20integrals%20to%20find%20probabilities%2C%20we%20often%20use%20the%20**Cumulative%20Distribution%20Function%20(CDF)**%20as%20a%20more%20convenient%20tool.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20CDF%20%24F(x)%24%20for%20a%20continuous%20random%20variable%20%24X%24%20is%20defined%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24F(x)%20%3D%20P(X%20%5Cleq%20x)%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7Bx%7D%20f(t)%5C%2Cdt%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%20%24f(t)%24%20is%20the%20PDF%20of%20%24X%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Properties%20of%20CDFs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20CDF%20%24F(x)%24%20has%20these%20key%20properties%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24F(x)%24%20is%20always%20non-decreasing%3A%20if%20%24a%20%3C%20b%24%2C%20then%20%24F(a)%20%5Cleq%20F(b)%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20F(x)%20%3D%200%24%20and%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20F(x)%20%3D%201%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24F(x)%24%20is%20right-continuous%3A%20%24%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%2B%7D%20F(x%2Bh)%20%3D%20F(x)%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Using%20the%20CDF%20to%20Calculate%20Probabilities%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20CDF%20is%20extremely%20useful%20because%20it%20allows%20us%20to%20calculate%20various%20probabilities%20without%20having%20to%20perform%20integrals%20each%20time%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Probability%20Query%20%7C%20Solution%20%7C%20Explanation%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C-------------------%7C----------%7C-------------%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24P(X%20%3C%20a)%24%20%7C%20%24F(a)%24%20%7C%20Definition%20of%20the%20CDF%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24P(X%20%5Cleq%20a)%24%20%7C%20%24F(a)%24%20%7C%20For%20continuous%20distributions%2C%20%24P(X%20%3D%20a)%20%3D%200%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24P(X%20%3E%20a)%24%20%7C%20%241%20-%20F(a)%24%20%7C%20Since%20%24P(X%20%5Cleq%20a)%20%2B%20P(X%20%3E%20a)%20%3D%201%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24P(a%20%3C%20X%20%3C%20b)%24%20%7C%20%24F(b)%20-%20F(a)%24%20%7C%20Since%20%24F(a)%20%2B%20P(a%20%3C%20X%20%3C%20b)%20%3D%20F(b)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24P(a%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%20b)%24%20%7C%20%24F(b)%20-%20F(a)%24%20%7C%20Since%20%24P(X%20%3D%20a)%20%3D%20P(X%20%3D%20b)%20%3D%200%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20discrete%20random%20variables%2C%20the%20CDF%20is%20also%20defined%20but%20it's%20less%20commonly%20used%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24F_X(a)%20%3D%20%5Csum_%7Bi%20%5Cleq%20a%7D%20P(X%20%3D%20i)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20CDF%20for%20discrete%20distributions%20is%20a%20step%20function%2C%20increasing%20at%20each%20point%20in%20the%20support%20of%20the%20random%20variable.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(fig_to_image%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20create_pdf_cdf_comparison()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20axs%20%3D%20plt.subplots(3%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%2010))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20x-values%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-1%2C%206%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%201.%20Uniform%20Distribution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf_uniform%20%3D%20np.where((x%20%3E%3D%200)%20%26%20(x%20%3C%3D%205)%2C%200.2%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%200%5D.plot(x%2C%20pdf_uniform%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%200%5D.set_title('Uniform%20PDF')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%200%5D.set_ylabel('Density')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%200%5D.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20CDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_uniform%20%3D%20np.zeros_like(x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20val%20in%20enumerate(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20val%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_uniform%5Bi%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20val%20%3E%205%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_uniform%5Bi%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_uniform%5Bi%5D%20%3D%20val%20%2F%205%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%201%5D.plot(x%2C%20cdf_uniform%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%201%5D.set_title('Uniform%20CDF')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%201%5D.set_ylabel('Probability')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B0%2C%201%5D.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%202.%20Triangular%20Distribution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf_triangular%20%3D%20np.where(x%20%3C%3D%202.5%2C%20x%2F6.25%2C%20(5-x)%2F6.25)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf_triangular%20%3D%20np.where((x%20%3C%200)%20%7C%20(x%20%3E%205)%2C%200%2C%20pdf_triangular)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%200%5D.plot(x%2C%20pdf_triangular%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%200%5D.set_title('Triangular%20PDF')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%200%5D.set_ylabel('Density')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%200%5D.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20CDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_triangular%20%3D%20np.zeros_like(x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20val%20in%20enumerate(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20val%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_triangular%5Bi%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20val%20%3E%3D%205%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_triangular%5Bi%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20For%20x%20%E2%89%A4%202.5%3A%20CDF%20%3D%20x%C2%B2%2F(2%20*6%20.25)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20For%20x%20%3E%202.5%3A%20CDF%20%3D%201%20-%20(5%20-%20x)%C2%B2%2F(2%20*%206.25)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20val%20%3C%3D%202.5%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_triangular%5Bi%5D%20%3D%20(val**2)%20%2F%20(2%20*%206.25)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_triangular%5Bi%5D%20%3D%201%20-%20((5%20-%20val)**2)%20%2F%20(2%20*%206.25)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%201%5D.plot(x%2C%20cdf_triangular%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%201%5D.set_title('Triangular%20CDF')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%201%5D.set_ylabel('Probability')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B1%2C%201%5D.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%203.%20Exponential%20Distribution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lambda_param%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf_exponential%20%3D%20np.where(x%20%3E%3D%200%2C%20lambda_param%20*%20np.exp(-lambda_param%20*%20x)%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%200%5D.plot(x%2C%20pdf_exponential%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%200%5D.set_title('Exponential%20PDF%20(%CE%BB%3D0.5)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%200%5D.set_xlabel('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%200%5D.set_ylabel('Density')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%200%5D.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20CDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cdf_exponential%20%3D%20np.where(x%20%3C%200%2C%200%2C%201%20-%20np.exp(-lambda_param%20*%20x))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%201%5D.plot(x%2C%20cdf_exponential%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%201%5D.set_title('Exponential%20CDF%20(%CE%BB%3D0.5)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%201%5D.set_xlabel('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%201%5D.set_ylabel('Probability')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axs%5B2%2C%201%5D.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Common%20x-limits%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20ax%20in%20axs.flatten()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlim(-0.5%2C%205.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ax%20in%20axs%5B%3A%2C%200%5D%3A%20%20%23%20PDF%20plots%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylim(-0.05%2C%20max(0.5%2C%20max(pdf_triangular)*1.1))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%20%20%23%20CDF%20plots%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylim(-0.05%2C%201.05)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.gca()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20visualization%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20create_pdf_cdf_comparison()%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(fig_to_image(_fig)%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%0A%20%20%20%20_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20figure%20above%20compares%20the%20Probability%20Density%20Functions%20(PDFs)%20on%20the%20left%20with%20their%20corresponding%20Cumulative%20Distribution%20Functions%20(CDFs)%20on%20the%20right%20for%20three%20common%20distributions%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20**Uniform%20Distribution**%3A%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20PDF%3A%20Constant%20value%20(0.2)%20across%20the%20support%20range%20%5B0%2C%205%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20CDF%3A%20Linear%20increase%20from%200%20to%201%20across%20the%20support%20range%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20**Triangular%20Distribution**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20PDF%3A%20Linearly%20increases%20then%20decreases%2C%20forming%20a%20triangle%20shape%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20CDF%3A%20Increases%20quadratically%20up%20to%20the%20peak%2C%20then%20approaches%201%20quadratically%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20**Exponential%20Distribution**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20PDF%3A%20Starts%20at%20%CE%BB%3D0.5%20and%20decreases%20exponentially%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20CDF%3A%20Starts%20at%200%20and%20approaches%201%20exponentially%20(never%20quite%20reaching%201)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%20NOTE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20common%20properties%20of%20all%20CDFs%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20They%20are%20non-decreasing%20functions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20They%20start%20at%200%20(for%20x%20%3D%20-%E2%88%9E)%20and%20approach%20or%20reach%201%20(for%20x%20%3D%20%E2%88%9E)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20slope%20of%20the%20CDF%20at%20any%20point%20equals%20the%20PDF%20value%20at%20that%20point%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_img%2C%20_explanation%5D)%0A%20%20%20%20return%20(create_pdf_cdf_comparison%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Solving%20for%20Constants%20in%20PDFs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Many%20PDFs%20contain%20a%20constant%20that%20needs%20to%20be%20determined%20to%20ensure%20the%20total%20probability%20equals%201.%20Let's%20work%20through%20an%20example%20to%20understand%20how%20to%20solve%20for%20these%20constants.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Example%3A%20Finding%20the%20Constant%20%24C%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Let%20%24X%24%20be%20a%20continuous%20random%20variable%20with%20PDF%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C(4x%20-%202x%5E2)%20%26%20%5Ctext%7Bwhen%20%7D%200%20%3C%20x%20%3C%202%20%5C%5C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%20%26%20%5Ctext%7Botherwise%7D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20this%20function%2C%20%24C%24%20is%20a%20constant%20we%20need%20to%20determine.%20Since%20we%20know%20the%20PDF%20must%20integrate%20to%201%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Balign%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%5Cint_0%5E2%20C(4x%20-%202x%5E2)%20%5C%2C%20dx%20%3D%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26C%5Cleft(2x%5E2%20-%20%5Cfrac%7B2x%5E3%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cbigg%7C_0%5E2%20%3D%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26C%5Cleft%5B%5Cleft(8%20-%20%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%5Cright)%20-%200%20%5Cright%5D%20%3D%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26C%5Cleft(%5Cfrac%7B24%20-%2016%7D%7B3%7D%5Cright)%20%3D%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26C%5Cleft(%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%5Cright)%20%3D%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26C%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Balign%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Now%20that%20we%20know%20%24C%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%24%2C%20we%20can%20compute%20probabilities.%20For%20example%2C%20what%20is%20%24P(X%20%3E%201)%24%3F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Balign%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20P(X%20%3E%201)%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint_1%5E%7B%5Cinfty%7Df(x)%20%5C%2C%20dx%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint_1%5E2%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D(4x%20-%202x%5E2)%20%5C%2C%20dx%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Cleft(2x%5E2%20-%20%5Cfrac%7B2x%5E3%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cbigg%7C_1%5E2%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Cleft%5B%5Cleft(8%20-%20%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%5Cright)%20-%20%5Cleft(2%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Cleft%5B%5Cleft(8%20-%20%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%5Cright)%20-%20%5Cleft(%5Cfrac%7B6%20-%202%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Cleft%5B%5Cleft(%5Cfrac%7B24%20-%2016%7D%7B3%7D%5Cright)%20-%20%5Cleft(%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Cleft%5B%5Cleft(%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%5Cright)%20-%20%5Cleft(%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Balign%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Let's%20visualize%20this%20distribution%20and%20verify%20our%20results%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20create_example_pdf_visualization%2C%0A%20%20%20%20fig_to_image%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20symbolic_calculation%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20visualization%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20create_example_pdf_visualization()%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(fig_to_image(_fig)%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Symbolic%20calculation%0A%20%20%20%20_sympy_verification%20%3D%20mo.md(symbolic_calculation())%0A%0A%20%20%20%20_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20figure%20above%20shows%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20**Left**%3A%20The%20PDF%20%24f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D(4x%20-%202x%5E2)%24%20for%20%240%20%3C%20x%20%3C%202%24%2C%20with%20the%20area%20representing%20P(X%20%3E%201)%20shaded%20in%20orange.%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20**Right**%3A%20The%20corresponding%20CDF%2C%20showing%20F(1)%20%3D%200.5%20and%20thus%20P(X%20%3E%201)%20%3D%201%20-%20F(1)%20%3D%200.5.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Notice%20how%20we%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20First%20determined%20the%20constant%20C%20%3D%203%2F8%20by%20ensuring%20the%20total%20area%20under%20the%20PDF%20equals%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Used%20this%20value%20to%20calculate%20specific%20probabilities%20like%20P(X%20%3E%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Verified%20our%20results%20both%20graphically%20and%20symbolically%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_img%2C%20_sympy_verification%2C%20_explanation%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Expectation%20and%20Variance%20of%20Continuous%20Random%20Variables%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Just%20as%20with%20discrete%20random%20variables%2C%20we%20can%20calculate%20the%20expectation%20and%20variance%20of%20continuous%20random%20variables.%20The%20main%20difference%20is%20that%20we%20use%20integrals%20instead%20of%20sums.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Expectation%20(Mean)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20a%20continuous%20random%20variable%20%24X%24%20with%20PDF%20%24f(x)%24%2C%20the%20expectation%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5D%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%20%5Ccdot%20f(x)%20%5C%2C%20dx%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20More%20generally%2C%20for%20any%20function%20%24g(X)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5Bg(X)%5D%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20g(x)%20%5Ccdot%20f(x)%20%5C%2C%20dx%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Variance%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20variance%20is%20defined%20the%20same%20way%20as%20for%20discrete%20random%20variables%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BVar%7D(X)%20%3D%20E%5B(X%20-%20%5Cmu)%5E2%5D%20%3D%20E%5BX%5E2%5D%20-%20(E%5BX%5D)%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%20%24%5Cmu%20%3D%20E%5BX%5D%24%20is%20the%20mean%20of%20%24X%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20To%20calculate%20%24E%5BX%5E2%5D%24%2C%20we%20use%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5E2%5D%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20%5Ccdot%20f(x)%20%5C%2C%20dx%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Properties%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20following%20properties%20hold%20for%20both%20continuous%20and%20discrete%20random%20variables%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24E%5BaX%20%2B%20b%5D%20%3D%20aE%5BX%5D%20%2B%20b%24%20for%20constants%20%24a%24%20and%20%24b%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Ctext%7BVar%7D(aX%20%2B%20b)%20%3D%20a%5E2%20%5Ctext%7BVar%7D(X)%24%20for%20constants%20%24a%24%20and%20%24b%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Let's%20calculate%20the%20expectation%20and%20variance%20for%20our%20example%20PDF%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(fig_to_image%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20sympy)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Symbolic%20calculation%20of%20expectation%20and%20variance%0A%20%20%20%20def%20symbolic_stats_calc()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20sympy.symbols('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20%3D%20sympy.Rational(3%2C%208)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Define%20the%20PDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf_expr%20%3D%20C%20*%20(4*x%20-%202*x**2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20expectation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_X%20%3D%20sympy.integrate(x%20*%20pdf_expr%2C%20(x%2C%200%2C%202))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20E%5BX%C2%B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_X2%20%3D%20sympy.integrate(x**2%20*%20pdf_expr%2C%20(x%2C%200%2C%202))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20variance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Var_X%20%3D%20E_X2%20-%20E_X**2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20standard%20deviation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Std_X%20%3D%20sympy.sqrt(Var_X)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20E_X%2C%20E_X2%2C%20Var_X%2C%20Std_X%0A%0A%20%20%20%20%23%20Get%20symbolic%20results%0A%20%20%20%20E_X%2C%20E_X2%2C%20Var_X%2C%20Std_X%20%3D%20symbolic_stats_calc()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Numerical%20values%20for%20plotting%0A%20%20%20%20E_X_val%20%3D%20float(E_X)%0A%20%20%20%20Var_X_val%20%3D%20float(Var_X)%0A%20%20%20%20Std_X_val%20%3D%20float(Std_X)%0A%0A%20%20%20%20def%20create_expectation_variance_vis()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Create%20visualization%20showing%20mean%20and%20variance%20for%20the%20example%20PDF.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20x-values%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-0.5%2C%202.5%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PDF%20function%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20%3D%203%2F8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf%20%3D%20np.where((x%20%3E%200)%20%26%20(x%20%3C%202)%2C%20C%20*%20(4*x%20-%202*x**2)%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20PDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(x%2C%20pdf%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'PDF')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.fill_between(x%2C%20pdf%2C%20where%3D(x%20%3E%200)%20%26%20(x%20%3C%202)%2C%20alpha%3D0.3%2C%20color%3D'blue')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Mark%20the%20mean%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(x%3DE_X_val%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'Mean%20(E%5BX%5D%20%3D%20%7BE_X_val%3A.3f%7D)')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Mark%20the%20standard%20deviation%20range%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvspan(E_X_val%20-%20Std_X_val%2C%20E_X_val%20%2B%20Std_X_val%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'green'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'%C2%B11%20Std%20Dev%20(%7BStd_X_val%3A.3f%7D)')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20labels%20and%20title%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel('Probability%20Density')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title('PDF%20with%20Mean%20and%20Variance')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Set%20x-limits%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlim(-0.25%2C%202.25)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20the%20visualization%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20create_expectation_variance_vis()%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(fig_to_image(_fig)%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Detailed%20calculations%20for%20our%20example%0A%20%20%20%20_calculations%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Calculating%20Expectation%20and%20Variance%20for%20Our%20Example%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Let's%20calculate%20the%20expectation%20and%20variance%20for%20the%20PDF%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24f(x)%20%3D%20%5C%5Cbegin%7B%7Bcases%7D%7D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D(4x%20-%202x%5E2)%20%26%20%5C%5Ctext%7B%7Bwhen%20%7D%7D%200%20%3C%20x%20%3C%202%20%5C%5C%5C%5C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%20%26%20%5C%5Ctext%7B%7Botherwise%7D%7D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5Cend%7B%7Bcases%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%23%20Expectation%20Calculation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5D%20%3D%20%5C%5Cint_%7B%7B-%5C%5Cinfty%7D%7D%5E%7B%7B%5C%5Cinfty%7D%7D%20x%20%5C%5Ccdot%20f(x)%20%5C%5C%2C%20dx%20%3D%20%5C%5Cint_0%5E2%20x%20%5C%5Ccdot%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D(4x%20-%202x%5E2)%20%5C%5C%2C%20dx%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cint_0%5E2%20(4x%5E2%20-%202x%5E3)%20%5C%5C%2C%20dx%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cleft%5B%20%5C%5Cfrac%7B%7B4x%5E3%7D%7D%7B%7B3%7D%7D%20-%20%5C%5Cfrac%7B%7B2x%5E4%7D%7D%7B%7B4%7D%7D%20%5C%5Cright%5D_0%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cleft%5B%20%5C%5Cfrac%7B%7B4%20%5C%5Ccdot%202%5E3%7D%7D%7B%7B3%7D%7D%20-%20%5C%5Cfrac%7B%7B2%20%5C%5Ccdot%202%5E4%7D%7D%7B%7B4%7D%7D%20-%200%20%5C%5Cright%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cleft%5B%20%5C%5Cfrac%7B%7B32%7D%7D%7B%7B3%7D%7D%20-%204%20%5C%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Ccdot%20%5C%5Cfrac%7B%7B32%20-%2012%7D%7D%7B%7B3%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Ccdot%20%5C%5Cfrac%7B%7B20%7D%7D%7B%7B3%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B20%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%3D%20%7BE_X%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%23%20Variance%20Calculation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20First%2C%20we%20need%20%24E%5BX%5E2%5D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5E2%5D%20%3D%20%5C%5Cint_%7B%7B-%5C%5Cinfty%7D%7D%5E%7B%7B%5C%5Cinfty%7D%7D%20x%5E2%20%5C%5Ccdot%20f(x)%20%5C%5C%2C%20dx%20%3D%20%5C%5Cint_0%5E2%20x%5E2%20%5C%5Ccdot%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D(4x%20-%202x%5E2)%20%5C%5C%2C%20dx%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5E2%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cint_0%5E2%20(4x%5E3%20-%202x%5E4)%20%5C%5C%2C%20dx%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cleft%5B%20%5C%5Cfrac%7B%7B4x%5E4%7D%7D%7B%7B4%7D%7D%20-%20%5C%5Cfrac%7B%7B2x%5E5%7D%7D%7B%7B5%7D%7D%20%5C%5Cright%5D_0%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5E2%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cleft%5B%204%20-%20%5C%5Cfrac%7B%7B2%20%5C%5Ccdot%2032%7D%7D%7B%7B5%7D%7D%20-%200%20%5C%5Cright%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Cleft%5B%204%20-%20%5C%5Cfrac%7B%7B64%7D%7D%7B%7B5%7D%7D%20%5C%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E%5BX%5E2%5D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B3%7D%7D%7B%7B8%7D%7D%20%5C%5Ccdot%20%5C%5Cfrac%7B%7B20%20-%2064%2F5%7D%7D%7B%7B1%7D%7D%20%3D%20%7BE_X2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Now%20we%20can%20calculate%20the%20variance%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BVar%7D%7D(X)%20%3D%20E%5BX%5E2%5D%20-%20(E%5BX%5D)%5E2%20%3D%20%7BE_X2%7D%20-%20(%7BE_X%7D)%5E2%20%3D%20%7BVar_X%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Therefore%2C%20the%20standard%20deviation%20is%20%24%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7BVar%7D%7D(X)%7D%7D%20%3D%20%7BStd_X%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_img%2C%20_calculations%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_X%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_X2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_X_val%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Std_X%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Std_X_val%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Var_X%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Var_X_val%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20create_expectation_variance_vis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20symbolic_stats_calc%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20%F0%9F%A4%94%20Test%20Your%20Understanding%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Select%20which%20of%20these%20statements%20about%20continuous%20distributions%20you%20think%20are%20correct%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20The%20PDF%20of%20a%20continuous%20random%20variable%20can%20have%20values%20greater%20than%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%9C%85%20Correct!%20Since%20the%20PDF%20represents%20density%20(not%20probability)%2C%20it%20can%20exceed%201%20as%20long%20as%20the%20total%20area%20under%20the%20curve%20equals%201.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20For%20a%20continuous%20distribution%2C%20%24P(X%20%3D%20a)%20%3E%200%24%20for%20any%20value%20%24a%24%20in%20the%20support%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%9D%8C%20Incorrect!%20For%20continuous%20random%20variables%2C%20the%20probability%20of%20the%20random%20variable%20taking%20any%20specific%20exact%20value%20is%20always%200.%20That%20is%2C%20%24P(X%20%3D%20a)%20%3D%200%24%20for%20any%20value%20%24a%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20The%20area%20under%20a%20PDF%20curve%20between%20%24a%24%20and%20%24b%24%20equals%20the%20probability%20%24P(a%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%20b)%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%9C%85%20Correct!%20The%20area%20under%20the%20PDF%20curve%20over%20an%20interval%20gives%20the%20probability%20that%20the%20random%20variable%20falls%20within%20that%20interval.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20The%20CDF%20function%20%24F(x)%24%20is%20always%20equal%20to%20%24%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7Bx%7D%20f(t)%20%5C%2C%20dt%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%9C%85%20Correct!%20The%20CDF%20at%20point%20%24x%24%20is%20the%20integral%20of%20the%20PDF%20from%20negative%20infinity%20to%20%24x%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20For%20a%20continuous%20random%20variable%2C%20%24F(x)%24%20ranges%20from%200%20to%20the%20maximum%20value%20in%20the%20support%20of%20the%20random%20variable%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%9D%8C%20Incorrect!%20The%20CDF%20%24F(x)%24%20ranges%20from%200%20to%201%2C%20representing%20probabilities.%20It%20approaches%201%20(not%20the%20maximum%20value%20in%20the%20support)%20as%20%24x%24%20approaches%20infinity.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20To%20calculate%20the%20variance%20of%20a%20continuous%20random%20variable%2C%20we%20use%20the%20formula%20%24%5Ctext%7BVar%7D(X)%20%3D%20E%5BX%5E2%5D%20-%20(E%5BX%5D)%5E2%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%9C%85%20Correct!%20This%20formula%20applies%20to%20both%20discrete%20and%20continuous%20random%20variables.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Moving%20from%20discrete%20to%20continuous%20thinking%20is%20a%20big%20conceptual%20leap%2C%20but%20it%20opens%20up%20powerful%20ways%20to%20model%20real-world%20phenomena.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20this%20notebook%2C%20we've%20seen%20how%20continuous%20random%20variables%20let%20us%20model%20quantities%20that%20can%20take%20any%20real%20value.%20Instead%20of%20dealing%20with%20probabilities%20at%20specific%20points%20(which%20are%20actually%20zero!)%2C%20we%20work%20with%20probability%20density%20functions%20(PDFs)%20and%20find%20probabilities%20by%20calculating%20areas%20under%20curves.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Some%20key%20points%20to%20remember%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%80%A2%20PDFs%20give%20us%20relative%20likelihood%2C%20not%20actual%20probabilities%20-%20that's%20why%20they%20can%20exceed%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%80%A2%20The%20probability%20between%20two%20points%20is%20the%20area%20under%20the%20PDF%20curve%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%80%A2%20CDFs%20offer%20a%20convenient%20shortcut%20to%20find%20probabilities%20without%20integrating%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%80%A2%20Expectation%20and%20variance%20work%20similarly%20to%20discrete%20variables%2C%20just%20with%20integrals%20instead%20of%20sums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%80%A2%20Constants%20in%20PDFs%20are%20determined%20by%20ensuring%20the%20total%20probability%20equals%201%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20foundation%20will%20serve%20you%20well%20as%20we%20explore%20specific%20continuous%20distributions%20like%20normal%2C%20exponential%2C%20and%20beta%20in%20future%20notebooks.%20These%20distributions%20are%20the%20workhorses%20of%20probability%20theory%20and%20statistics%2C%20appearing%20everywhere%20from%20quality%20control%20to%20financial%20modeling.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20One%20final%20thought%3A%20continuous%20distributions%20are%20beautiful%20mathematical%20objects%2C%20but%20remember%20they're%20just%20models.%20Real-world%20data%20is%20often%20discrete%20at%20some%20level%2C%20but%20continuous%20distributions%20provide%20elegant%20approximations%20that%20make%20calculations%20more%20tractable.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Appendix%20code%20(helper%20functions%2C%20variables%2C%20etc.)%3A%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20scipy.stats%20as%20stats%0A%20%20%20%20import%20sympy%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20integrate%20as%20scipy%0A%20%20%20%20import%20polars%20as%20pl%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20from%20wigglystuff%20import%20TangleSlider%0A%20%20%20%20return%20TangleSlider%2C%20alt%2C%20np%2C%20pl%2C%20plt%2C%20scipy%2C%20stats%2C%20sympy%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.figure%20import%20Figure%0A%0A%20%20%20%20%23%20Helper%20function%20to%20convert%20mpl%20figure%20to%20an%20image%20format%20mo.image%20can%20handle%0A%20%20%20%20def%20fig_to_image(fig)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig.savefig(buf%2C%20format%3D'png')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20buf.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20data%20%3D%20f%22data%3Aimage%2Fpng%3Bbase64%2C%7Bbase64.b64encode(buf.read()).decode('utf-8')%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20data%0A%20%20%20%20return%20Figure%2C%20base64%2C%20fig_to_image%2C%20io%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20create_pdf_visualization(a%2C%20b%2C%20distribution%3D'uniform')%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20x-values%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-0.5%2C%205.5%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Various%20PDFs%20to%20visualize%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20distribution%20%3D%3D%20'uniform'%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Uniform%20distribution%20from%200%20to%205%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.where((x%20%3E%3D%200)%20%26%20(x%20%3C%3D%205)%2C%200.2%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%20%3D%20f%22Uniform%20PDF%20from%200%20to%205%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20distribution%20%3D%3D%20'triangular'%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Triangular%20distribution%20peaked%20at%202.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.where(x%20%3C%3D%202.5%2C%20x%2F6.25%2C%20(5-x)%2F6.25)%20%20%23%20peak%20at%202.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.where((x%20%3C%200)%20%7C%20(x%20%3E%205)%2C%200%2C%20y)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%20%3D%20f%22Triangular%20PDF%20from%200%20to%205%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20distribution%20%3D%3D%20'exponential'%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda_param%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.where(x%20%3E%3D%200%2C%20lambda_param%20*%20np.exp(-lambda_param%20*%20x)%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%20%3D%20f%22Exponential%20PDF%20with%20%CE%BB%20%3D%20%7Blambda_param%7D%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20PDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(x%2C%20y%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'PDF%20%24f(x)%24')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Shade%20the%20area%20for%20the%20probability%20P(a%20%E2%89%A4%20X%20%E2%89%A4%20b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask%20%3D%20(x%20%3E%3D%20a)%20%26%20(x%20%3C%3D%20b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.fill_between(x%5Bmask%5D%2C%20y%5Bmask%5D%2C%20color%3D'orange'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20the%20probability%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dx%20%3D%20x%5B1%5D%20-%20x%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20probability%20%3D%20np.sum(y%5Bmask%5D)%20*%20dx%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20vertical%20lines%20at%20a%20and%20b%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(x%3Da%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'a%20%3D%20%7Ba%3A.1f%7D')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(x%3Db%2C%20color%3D'g'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'b%20%3D%20%7Bb%3A.1f%7D')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20horizontal%20line%20at%20y%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'black'%2C%20linestyle%3D'-'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20labels%20and%20title%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel('Probability%20Density%20%24f(x)%24')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title(title)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend(loc%3D'upper%20right')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20relevant%20annotations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.annotate(f'%24P(%7Ba%3A.1f%7D%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%20%7Bb%3A.1f%7D)%20%3D%20%7Bprobability%3A.4f%7D%24'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.5%2C%200.9)%2C%20xycoords%3D'axes%20fraction'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.5'%2C%20facecolor%3D'white'%2C%20alpha%3D0.8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20horizontalalignment%3D'center'%2C%20fontsize%3D12)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.grid(alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.gca()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig%2C%20probability%0A%20%20%20%20return%20(create_pdf_visualization%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20sympy)%3A%0A%20%20%20%20def%20create_example_pdf_visualization()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20(ax1%2C%20ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20x-values%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-0.5%2C%202.5%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PDF%20function%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20%3D%203%2F8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf%20%3D%20np.where((x%20%3E%200)%20%26%20(x%20%3C%202)%2C%20C%20*%20(4*x%20-%202*x**2)%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20CDF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cdf%20%3D%20np.zeros_like(x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20val%20in%20enumerate(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20val%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf%5Bi%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20val%20%3E%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf%5Bi%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Analytical%20form%3A%20C*(2x%5E2%20-%202x%5E3%2F3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cdf%5Bi%5D%20%3D%20C%20*%20(2*val**2%20-%20(2*val**3)%2F3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PDF%20Plot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.plot(x%2C%20pdf%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.set_title('PDF%3A%20%24f(x)%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D(4x%20-%202x%5E2)%24%20for%20%240%20%3C%20x%20%3C%202%24')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.set_xlabel('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.set_ylabel('Probability%20Density')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Highlight%20the%20area%20for%20P(X%20%3E%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask%20%3D%20(x%20%3E%201)%20%26%20(x%20%3C%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.fill_between(x%5Bmask%5D%2C%20pdf%5Bmask%5D%2C%20color%3D'orange'%2C%20alpha%3D0.5%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D'P(X%20%3E%201)%20%3D%200.5')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20vertical%20line%20at%20x%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.axvline(x%3D1%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.legend()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20CDF%20Plot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.plot(x%2C%20cdf%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.set_title('CDF%3A%20%24F(x)%24%20for%20the%20Example%20Distribution')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.set_xlabel('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.set_ylabel('Cumulative%20Probability')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Mark%20appropriate%20(F(1)%20%26%20F(2))%20points)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.plot(1%2C%20cdf%5Bnp.abs(x-1).argmin()%5D%2C%20'ro'%2C%20markersize%3D8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.plot(2%2C%20cdf%5Bnp.abs(x-2).argmin()%5D%2C%20'ro'%2C%20markersize%3D8)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20annotations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20F_1%20%3D%20C%20*%20(2*1**2%20-%20(2*1**3)%2F3)%20%20%23%20F(1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.annotate(f'F(1)%20%3D%20%7BF_1%3A.3f%7D'%2C%20xy%3D(1%2C%20F_1)%2C%20xytext%3D(1.1%2C%200.4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(facecolor%3D'black'%2C%20shrink%3D0.05%2C%20width%3D1))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.annotate(f'F(2)%20%3D%201'%2C%20xy%3D(2%2C%201)%2C%20xytext%3D(1.7%2C%200.8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(facecolor%3D'black'%2C%20shrink%3D0.05%2C%20width%3D1))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.annotate(f'P(X%20%3E%201)%20%3D%201%20-%20F(1)%20%3D%20%7B1-F_1%3A.3f%7D'%2C%20xy%3D(1.5%2C%200.7)%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.5'%2C%20facecolor%3D'orange'%2C%20alpha%3D0.2))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20common%20x-limits%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20ax%20in%20%5Bax1%2C%20ax2%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlim(-0.25%2C%202.25)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.gca()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig%0A%0A%20%20%20%20def%20symbolic_calculation()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20sympy.symbols('x')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20%3D%20sympy.Rational(3%2C%208)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PDF%20defn%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pdf_expr%20%3D%20C%20*%20(4*x%20-%202*x**2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Verify%20PDF%20integrates%20to%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_prob%20%3D%20sympy.integrate(pdf_expr%2C%20(x%2C%200%2C%202))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20P(X%20%3E%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20prob_gt_1%20%3D%20sympy.integrate(pdf_expr%2C%20(x%2C%201%2C%202))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%22%22Symbolic%20calculation%20verification%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Total%20probability%3A%20%E2%88%AB%E2%82%80%C2%B2%20%7BC%7D(4x%20-%202x%C2%B2)%20dx%20%3D%20%7Btotal_prob%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20P(X%20%3E%201)%3A%20%E2%88%AB%E2%82%81%C2%B2%20%7BC%7D(4x%20-%202x%C2%B2)%20dx%20%3D%20%7Bprob_gt_1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20create_example_pdf_visualization%2C%20symbolic_calculation%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A